Диференциал (математика)

Вижте пояснителната страница за други значения на диференциал.

Диференциал е понятие в математическия анализ, въведено от Лайбниц и Бернули като описание на така наречените "безкрайно малки величини" и "безкрайно малки промени". Лайбниц и Бернули въвеждат означението $\mathrm{d}x\,$ за диференциал на променливата $x\,$ . След формализирането на анализа през 19. век от Коши, Вайерщрас и др. необходимостта от този термин изчезва.

Изменението на стойността на дадена величина може да се означи с $Δ x$ . Когато обаче промяната е много малка, тя се обозначава с $d x$ , което представлява удобство от практическа гледна точка, понеже:

Производната по дефиниция е границата на диференчното частно, когато $\Delta x \rightarrow 0$ . Това позволява производната, която е равна по дефиниция e:

$f'(x) = \lim_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{\Delta f(x)}{\Delta x}$ , да се запише по значително по-простия начин:

$f'(x) = \frac{\mathrm{d}f(x)}{\mathrm{d}x}$ ,

откъдето получаваме за диференциала на функцията f(x):

$\mathrm{d}f(x) = f'(x)\mathrm{d}x = \frac{\mathrm{d}f(x)}{\mathrm{d}x}\mathrm{d}x$ .

Това понятие се обобщава за функции с n реални променливи по следния начин:

$\mathrm{d}f(x) = \sum_{i}^n \frac{\part f(x)}{\part x_i}\mathrm{d}x_i$ .

Това обозначение е удобно и при интегралното смятане. С израза:

$\int f(x) \, {\mathrm d}x$

се дава вярна представа за интеграла като сума от безкрайно малки изменения на функцията.

Интерпретация

Ако гледаме на диференциала като на функция на променливата $h\,$ , то той може да се интерпретира като приближение на нарастването на $f\,$ около точката $x\,$ със свойството:

$\mathrm{d}f(x)=f'(x)\cdot h=(f(x+h)-f(x))+\hbox{o}(h).$

Литература

Математический анализ: Введение в анализ, производная, интеграл. Справочное пособие по высшей математике. Т.1, И.И. Ляшко, А.К. Боярчук, Я.Г. Гай, Г.П. Головач, Едиториал УРСС, 2001

Тази статия, свързана с математиката, е все още мъниче. Можете да помогнете на Уикипедия, като я редактирате и я разширите.

Категории: Математически мъничета | Математически анализ

! __

Why are we here?
All text is available under the terms of the GNU Free Documentation License
This page is cache of Wikipedia. History