Обща теория на относителността

Двуизмерен образ на изкривяването на пространство-времето. Наличието на материя променя геометрията на пространство-времето, тази (изкривена)геометрия се интерпретира като гравитация.

Обща относителност или обща теория на относителността (ОТО) е геометрична теория за гравитацията и космологията публикувана от Алберт Айнщайн през 1915. В тази теория:

Пространство-времето се разглежда като изкривено 4-размерно Лоренцово топологично пространство,
Пространство-времето се изкривява в присъствието на маса, енергия, и импулс (или stress-energy) в него.
Зависимостта между изкривяването (кривината) на пространство-времето и материята се определя от Уравненията на Айнщайн за полето.
Движение по инерция е по геодезични линии в пространство-времето.

При общата относителност, гравитацията не се дължи на сили. Явления, които в класическата механика се приписват на действието на силата на гравитацията (например свободно падане, движението по орбита, и траекториите на космическите кораби) в общата относителност се представят като движение по инерция в изкривеното време-пространство.

Шаблон:Обща относителност

Съдържание

1 Преглед
- 1.1 Основни Принципи
2 Уравнения на Айнщайн за полето
3 Енергия, материя и изкривяване на времепространството
4 Метрика на Айнщайн относно изкривяване на пространството
5 Елементи на тензора напрегнатост-енергия
6 Основни понятия в ОТО
7 Вижте още
8 Ползвана литература, полезни материали в интернет
9 Външни препратки

Преглед

Основни Принципи

Общата относителност се основава на група съществени принципи, които определят нейната разработка. Те са:

Общ принцип на относителността: Законите на физиката са еднакви за всички наблюдатели (ускоряващи се или не).
Принцип на общата ковариантност: Законите на физиката запазват формата си във всички координатни системи.
Принципът, че Инерциалното движение е движение по геодеза: 'Мировите' (траекториите в пространство-времето) линии на частици неповлияни от физически сили са време-подобни или нулеви геодези на пространство-времето.
Принцип на локална Лоренцова инвариантност: Законите на Специалната относителност са в сила локално за всички инерциални наблюдатели.
Пространство-времето е изкривено: Това обяснява как свободното падане може да се представи като инерциално движение, докато за масивно тяло, свободното падане е ускорение на тела към центъра на първото.
Кривината на пространство-времето се създава от тензор на енергията-момент във пространство-времето: Това в общата относителност се описва от Уравненията на Айнщайн за Полето.

(Принципът на еквивалентността, който е изходна точка в изграждането на общата теория на относителността, завършва като следствие на теорията и на принципа, че инерциалното движение е по 'геодези').

Уравнения на Айнщайн за полето

Уравненията на Айнщайн описват как напрегнатостта на енергията (stress-energy) предизвиква изкривяване на пространството - времето. Записани в тензорна форма те са:

$G_{ab} = \kappa\, T_{ab}$

където

G a b

е тензор на Айнщайн,

T a b

е тензор на напрегнатостта на енергията и

κ

е константа. Тензорите

G a b

T a b

са симетрични тензори от втори ранг. Те могат да бъдат записани като 4-мерни матрици.

Решението на Уравненията на Айнщаин за полето ни дава метрика за времепространството. Тази метрика описва структурата на времепространството, зададена от напрегнатостта на енергията и съответната координатна система, за която е получено конкретното решение. Това са нелинейни диференциални уравнения и точното им решение често пъти е невъзможно. Все пак известни са множество частни решения. Уравненията на Айнщайн за полето се свеждат към Законите на Нютон в случаите на слабо гравитационно поле и при скорости, много по-ниски от скоростта на светлината. При тези две приближения стойността на $κ$ се определя от формулата:

κ = 8π G / c 4

Съществуват и други теории, обосновани на същите начални предположения, но включващи други ограничения. Резултатът почти винаги се изразява в друго уравнение за полето. Виж уравнения на Brans-Dicke, teleparallelism, теория на Rosen и теория на Einstein-Cartan.

Енергия, материя и изкривяване на времепространството

До тук имаме само бегла представа за уравненията на Айнщайн: G=8πT.

От лявата страна G представлява тензор на Айнщайн. Този тензор от своя страна представлява геометрията на времепространството.

А от друга страна ние вече знаем че изкривяването на времепространството става при наличие на материя, това значи че Т от дясната страна на равенството е представянето на материята. Тензорът Т (напрегнатост на енергията) се представя чрез следните серии от числа:

Txx , Txy , Txz , Txt , Tyy , Tyz , Tyt , Tzz , Tzt , Ttt

Тези числа сами по себе си имат различен смисъл, заедно те представляват тензора на напрегнатост на енергията.

Метрика на Айнщайн относно изкривяване на пространството

Когато разглеждаме изкривяванията в пространството имаме нужда от специална метрика (измерителни единици) по подобие на:

$d 2 = x 2 + y 2 - 2 x y . c o s α$ , където:

d - разстояние между центъра на координатната система и дадена точка с координати x, y. Този запис е в сила когато x и y са разстояния, измерени спрямо единични вектори по координатните оси X и Y. В случай че базовите вектори не са с единична дължина е необходимо да се направи корекция. По-точната формула за записване на горното разстояние е следната:

$d^2= \left( \frac{x}{x_{fp}} \right)^2+ \left( \frac{y}{y_{fp}} \right)^2 - 2 \left( \frac{x}{x_{fp}} \right). \left( \frac{y}{y_{fp}} \right).cos \alpha$ , където

x f p, x f p

са коефициенти на пропорционалност по съответните координатни оси.

Вижда се че записа по този начин води до усложнения и затова прибягваме до по-опростено записване:

$\mathbf{ d^2 = g_{xx}.x^2 + g_{yy}.y^2 + 2g_{xy}xy}$ ,

където:

$g_{xx}=\left( \frac{1}{x_{fp}} \right)^2$

$g_{yy}=\left( \frac{1}{y_{fp}} \right)^2$

$g_{xy}= - \left( \frac{1}{x_{fp}} \right). \left( \frac{1}{y_{fp}} \right).cos \alpha$

Формулата за разстояние може да бъде обобщена и за наклонена координатна система (където осите X и Y не са перпендикулярни.

Така получените коефициенти $\mathbf{g_{xx}, g_{yy}, g_{xy}}$ са много важни във физиката. Заедно те определят метриката или физическото разстояние спрямо произволно избрана координатна система. В действителност метриката е още по-сложна от примера, който даваме. За да стане ясно това е нужно да въведем и третата координата - Z и съответната метрика, свързана със Z: gzz, gxz, guz. Трябва да въведем и времевата компонента на пространството : t и свързаните с нея метрични компоненти: gtt, gtx, gty, gtz.

Така получаваме 10 компоненти на пространството: gxx , gxy , gxz , gxt , gyy , gyz , gyt , gzz , gzt , gtt .

Метриката на пространството може да се променя при преминаване от една точка на пространството в друга. Ако работим с изкривена координатна система може да имаме координатна равнина, която започва в едно направление, но на друго място завършва сливайки се с координатната равнина от друго направление.

Възможно е да начертаем изкривена решетка върху плосък лист хартия. По такъв начин показваме метриката на изкривеното пространство, проектирайки го върху плоското пространство. А от друга страна е невъзможно да начертаем идеална права линия върху изкривена плоскост. Изследвайки много внимателно изменението на пространствената метрика от точка в точка можем да определим дали чертаем криволинейни координати в плоско пространство или пък чертаем в изкривено пространство.

Елементи на тензора напрегнатост-енергия

(Stress-Energy Tensor)

Ttt - измерва количеството материя в дадена точка - плътност

Txt , Tyt and Tzt - измерва колко бързо масата се придвижва (импулс)

Txx , Tyy and Tzz - измерва напрегнатостта(налягането) по всяко едно от трите направления

Txy , Txz and Tyz - измерва напрегнатостта(усукването) на материята по координатните оси

Както се вижда от по-горе напрегнатостта, (налягане и усукване) и импулса влизат едновременно в Айнщайновото уравнение за полето. Това значи че напрегнатостта, (налягане, усукване) и импулс имат еднакво влияние върху изкривяването на времепространството. Това е свързано с другото известно уравнение на Айнщаин:

E = m c 2

- показващо че енергията има маса.

Изкривяването на времепространството засяга посоката на движение на телата и променя геодезията на пространството. В същото време уравнението на Айнщайн показва как материята и нейното движение или напрегнатост променят формата на времепространството. По този начин Айнщайн дава принципно решение на фундаменталните проблеми на физиката. Но в същото време намирането на практическите решения за конкретните ситуации се оказва доста трудно и си остава до голяма степен работа само за компютрите.

Основни понятия в ОТО

Вижте още

Ползвана литература, полезни материали в интернет

Английската страница за ОТО на Уикипедия
Describing How Mass Warps Spacetime - Уравнения на Айнщайн

Външни препратки

Относителност (статия в списание „БГ НАУКА“)

Категория: Релативистична механика

! __

Why are we here?
All text is available under the terms of the GNU Free Documentation License
This page is cache of Wikipedia. History