Окръжност


Окръжност с радиус r и център М
Окръжност с радиус r и център М

Окръжност в евклидовата геометрия е геометрично място на точки в равнината, намиращи се на дадено разстояние r от определена точка О, наречена център. Окръжността е и частен случай на елипса с два съвпадащи фокуса и може да бъде дефинирана също като сечение на прав кръгов конус и равнина, перпендикулярна на оста му.

Кръг е множеството от точки, принадлежащи на окръжност и вътрешните точки за окръжността, т.е. тези точки, които са на разстояние, по-малко или равно на r от центъра О.

r е радиусът на окръжността (кръга), d = 2r е диаметърът на окръжността.


Друго определение за окръжност може да се даде, като се използват координатите на точките в равнината. Всички точки на окръжност с радиус r и център - началото на координатната система, удовлетворяват равенството

\ x^2 + y^2 = r^2\ .

Ако центърът на окръжността точката О е с координати (x0,y0), то

\ (x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = r^2


Лицето на кръг с радиус r е

\ S = \pi r ^ 2 = \pi d^2 / 4 ,


Дължината на окръжност с радиус r е

\ p =2 \pi r = \pi d ,


Геометрични фигури, свързани с окръжност

  • Всеки две точки от окръжността я делят на две части, които се наричат дъги на окръжността. Дъгата се нарича полуокръжност, ако отсечката, съединяваща краищата й, е диаметър.
  • Кръгов сектор или просто сектор се нарича част от кръг, ограничена от дъга и два радиуса, които съединяват краищата на дъгата с центъра на кръга.
  • Отсечка, съединяваща две точки от окръжност, се нарича хорда. Диаметърът на окръжността е хорда, минаваща през центъра му.
  • Сегмент се нарича част от кръг, ограничена от дъга и прилежащата й хорда.
  • Допирателна се нарича права, имаща само една обща точка с окръжност, точката се нарича допирна точка.
  • Секуща се нарича права, която има две общи точки с окръжност.
  • Централен ъгъл на окръжност се нарича ъгъл, чийто връх съвпада с центъра на окръжността.
  • Вписан ъгъл се нарича ъгъл, чийто връх лежи на окръжността, а раменете му са секущи.
  • Две окръжности, които имат общ център, се наричат концентрични.

Свойства

  • Права и окръжност може да нямат общи точки, да имат една обща точка - правата е допирателна, и да имат две общи точки - правата е секуща.
  • През три точки, нележащи на една права, може да се прекара окръжност, и то само една.
  • Допирната точка на две окръжности лежи на правата, съединяваща техните центрове.
  • Уравнението на окръжност с център M = \left(x_M, y_M \right) и радиус r е
\left( x-x_M\right)^2 + \left(y-y_M \right)^2 = r^2

ако M съвпада с центъра на координатната система, уравнението придобива вида

x^2 + y^2 = r^2.\,
  • Параметрично представяне на окръжност:
x = x_M + r \cos \varphi
y = y_M + r \sin \varphi

тук координатите x и y се изразяват чрез параметъра \varphi , който може да приема всички стойности в интервала 0 \le \varphi < 2 \pi .

  • Ако полярните координати на центъра на окръжност са M = (r,α), то окръжността с радиус r се описва с равенството
\rho(\varphi)=2r\cos (\varphi-\alpha), 0\leq\varphi<2\pi

ако M е началото на координатната система, то

ρ = r.

! __







Why are we here?
All text is available under the terms of the GNU Free Documentation License
This page is cache of Wikipedia. History